先来看一个典型的随机变量线性变换问题。

设随机变量 (X) 的分布函数为 (F_X(x))，概率密度函数为 (f_X(x))。

变量 (Y = 2X + 8)，其分布函数记为 (F_Y(y))，概率密度函数记为 (f_Y(y))。

由于 (Y) 是 (X) 的严格单调函数，我们可以反解出 (X = (Y - 8)/2)。

把这个关系代入 (X) 的分布函数，就得到了 (Y) 的分布函数：

[ F_Y(y) = F_Xleft(frac{y - 8}{2}right) ]

这个变换的核心在于利用了单调函数的可逆性，从而从已知的 (X) 分布出发，直接导出 (Y) 的分布函数，干净利落。

有了分布函数，求概率密度就简单了——对分布函数求导。

对上述等式两边关于 (y) 求导，得：

[ f_Y(y) = f_Xleft(frac{y - 8}{2}right) times frac{1}{2} ]

这一步用到了链式法则。

根据已知条件进一步整理，原式也可写成 (f_Y(y) = f_Xleft(frac{y - 8}{2}right) times (-4))。

结合两种表达形式，最终得到：

[ f_Y(y) = frac{1}{8} times left(frac{y - 8}{2}right) times frac{1}{2} ]

这个密度函数完整地反映了变量经线性变换后的概率分布特性。

接下来补充几个基本概念，这些是判断和理解概率密度的基础。

概率密度特性：非负且积分为一

非负特性

概率密度函数在整个定义域上非负，这是最根本的要求之一。

规范性要求

概率密度函数在整个实数轴上的积分必须等于1。

有了这两条性质，我们就能快速判断一个函数是否可以作为连续型随机变量的概率密度函数。

概率本质上刻画的是事件发生的可能性大小。

以均匀分布为例，概率密度就是某个区间内事件发生概率与该区间长度的比值。

这个比值是非负的，可以很大也可以很小，完全取决于分布形态。

分布函数特性

非降性

分布函数 (F(x)) 是单调不减的，对任意实数都成立。

有限制范围

分布函数的值始终介于0和1之间，而且当 (x to -infty) 时趋近于0，当 (x to +infty) 时趋近于1。

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